Errata für Beweisen lernen (Springer Verlag 2020) von Junk
und Treude.
Ich hoffe, dass meine Notizen dem Autorenteam zur Überprüfung und ggf. Korrektur nützlich sind.
Zum Hintergrund dieses Blog-Posts gibt es weiter unten mehr Informationen.
Errata
Stand 01.05.2023. Die neusten Notizen wurden zuerst in diese Liste überführt. Ich plane, die Liste sukzessive zu ergänzen.
Seite | Fehlerstelle | Korrekturvorschlag | Bemerkung |
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302 (unten) | p(f(b),z)∈Pf,n−1(X∖{a}) | p(f(b),z)∈Pf,n(X∖{a}) | |
302 (mittig) | [Wegen Aufgabe 153 gilt] ∃x∈U:Pf,n(X∖{x}) | ∃x∈U:Pf,n(X∖{a}) | Die Menge, auf die Bezug genommen wird, ist hier X∖{a} |
299 (Lösung Aufgabe 172) | zeigt Aufgabe 163 | zeigt Aufgabe 171 | |
297 (Lösung Aufgabe 168) | sei dazu A∈Dα∗f,n+1 | sei dazu A∈Df,n+1 | |
295 (unten) | z+f(b)∈Sn−1(X∖{a}) | z+f(b)∈Sn(X∖{a}) | |
288, 289 (Lösung Aufgabe 147) | | | Es wird auf (3.16) Bezug genommen, aber ∀n∈N>1:n−1∈N ist Axiom (3.18) |
Rechtschreibung / Grammatik / Druckfehler
Seite | Fehlerstelle | Korrekturvorschlag |
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295 (Lösung Aufgabe 160) | die Argumentation wurde ist dir eventuell | die Argumentation wurde ist dir eventuell |
294 | zu zeigen ist P(A)∣=2∣A∣ | zu zeigen ist ∣P(A)∣=2∣A∣ |
290 | ergibt m=∣n∣−∣A∣∈N | ergibt m=n−∣A∣∈N |
284 (Lösung Aufgabe 132) | und mit Aufgabe 132 ergibt sich schliesslich | und mit Aufgabe 131 ergibt sich schliesslich |
Hintergrund: Aufgabe 178 und das kleine Manöver, das kostete
In der Lösung zu Aufgabe 178 aus Beweisen lernen - und der hierzu vorbereitenden Aufgabe 158 - bin ich bei der Nachbereitung des Lösungsvorschlages nicht zu dem gleichen Ergebnis gekommen - der Definitionsbereich einer Funktion wurde falsch angegeben. Den Versuch, die Falschaussage nachzuweisen, habe ich hier in diesem Post dokumentiert.

Weitere Notizen bzgl. eventueller Fehler hinsichtlich Logik- und Druck fasse ich in dem o.a. Errata zusammen.
Aufgabe 158
Notation
U: Elementuniversum
En: Menge aller endlichen Mengen mit der Mächtigkeit n
P(K): Potenzmenge von K mit K⊂U
Aufgabenstellung
Es ist per Induktion zu beweisen, das
∀n∈N0:∀k∈(N0)≤n:∀X∈Dk:∣Sk(X)∣=1
Folgendes steht mit den Voraussetzungen zur Verfügung:
f:X↦R
Dn:={X∈En:X⊂Def(f)}
S0:D0→P(R), X↦{0}
Sn+1:Dn+1→P(R), X↦{f(x)+s ∣ (x,s)∈X×Sn(X∖{x})}
Induktionsschritt
Die Autoren wollen die Eindeutigkeit des Elementes x∈U:x∈Sn+1(X) über
∃!x∈U:x∈Sn+1(X)
zeigen. Hierzu muss die Existenz und die Eindeutigkeit des Elementes gezeigt werden, so dass wegen ∀u,v∈Sn+1(X):u=v
auch ∣Sn+1(X)∣=1 folgt (u.a. wegen Aufgabe 99 und Aufgabe 153).
Argumentation
Hierzu sei
u:=f(a)+s,v:=f(b)+t
Die Autoren zeigen einige Schritte weiter, dass mit der Induktionsvoraussetzung für s folgt:
Da f(a)+s∈Sn+1(X), ist s∈Sn(X∖{a}).
Mit b∈X∖{a} soll dann s=f(b)+z gezeigt werden, wobei wieder die Induktionsvoraussetzung angewendet wird und z∈Sn−1(X∖{a}∖{b}) gefunden wird.
Fehlerstelle
In einem weiteren Schritt wird dann behauptet, dass f(b)+z∈Sn−1(X∖{a}) ist, und deswegen f(b)+z∈{s} und folglich f(b)+z=s. Das scheint der Fehler zu sein, denn für s wurde gezeigt: s∈Sn(X∖{a}):
Wenn s∈Sn(X∖{a}) und s∈Sn−1(X∖{a}) gelten würde, dann würde für
f(c)+s∈Sn(X∖{a}) und f(b)+t∈Sn−1(X∖{a}) auch f(c)+s=f(b)+t gelten (für c,b∈X∖{a}).
Da s=f(b)+t wegen f(b)+t∈Sn−1(X∖{a}) und s∈Sn−1(X∖{a}) folgt dann auch
f(c)+s=s, was im Widerspruch zu f(c)+s=f(c)+s steht und offensichtlich nicht ∀c∈X∖{a} gilt.