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Errata für Beweisen lernen (Springer Verlag 2020) von Junk und Treude. Ich hoffe, dass meine Notizen dem Autorenteam zur Überprüfung und ggf. Korrektur nützlich sind.

Zum Hintergrund dieses Blog-Posts gibt es weiter unten mehr Informationen.

Errata​

Rechtschreibung / Grammatik / Druckfehler​

Hintergrund: Aufgabe 178 und das kleine Manöver, das kostete​

In der Lösung zu Aufgabe 178 aus Beweisen lernen - und der hierzu vorbereitenden Aufgabe 158 - bin ich bei der Nachbereitung des Lösungsvorschlages nicht zu dem gleichen Ergebnis gekommen - der Definitionsbereich einer Funktion wurde falsch angegeben. Den Versuch, die Falschaussage nachzuweisen, habe ich hier in diesem Post dokumentiert.

Weitere Notizen bzgl. eventueller Fehler hinsichtlich Logik- und Druck fasse ich in dem o.a. Errata zusammen.

Aufgabe 158​

Notation​

$U$: Elementuniversum

$\Epsilon_n$: Menge aller endlichen Mengen mit der Mächtigkeit $n$

$P(K)$: Potenzmenge von $K$ mit $K \subset U$

Aufgabenstellung​

Es ist per Induktion zu beweisen, das

$\forall n \in \N_0: \forall k \in (N_0)_{\le n}: \forall X \in D_k: | S_k(X)| = 1$

Folgendes steht mit den Voraussetzungen zur Verfügung:

$f: X \mapsto R$

$D_n:=\{X \in \Epsilon_n : X \subset Def(f) \}$

$S_0: D_0 \to P(\R),\space X \mapsto \{0\}$

$S_{n+1}: D_{n+1} \to P(\R),\space X \mapsto \{f(x) + s \space | \space (x, s) \in X \times S_{n}(X \setminus \{x\})\}$

Induktionsschritt​

Die Autoren wollen die Eindeutigkeit des Elementes $x \in U: x \in S_{n+1}(X)$ über

$\exists! x \in U: x \in S_{n+1}(X)$

zeigen. Hierzu muss die Existenz und die Eindeutigkeit des Elementes gezeigt werden, so dass wegen $\forall u,v \in S_{n+1}(X): u = v$ auch $|S_{n+1}(X)| = 1$ folgt (u.a. wegen Aufgabe 99 und Aufgabe 153).

Argumentation​

Hierzu sei

$u:= f(a)+s, v:= f(b)+t$

Die Autoren zeigen einige Schritte weiter, dass mit der Induktionsvoraussetzung für $s$ folgt:

Da $f(a) + s \in S_{n+1}(X)$, ist $s \in S_n(X \setminus \{a\})$.

Mit $b \in X \setminus \{a\}$ soll dann $s = f(b) + z$ gezeigt werden, wobei wieder die Induktionsvoraussetzung angewendet wird und $z \in S_{n-1}(X \setminus \{a\} \setminus \{b\})$ gefunden wird.

Fehlerstelle​

In einem weiteren Schritt wird dann behauptet, dass $f(b) + z \in S_{n-1}(X \setminus\{a\})$ ist, und deswegen $f(b)+z \in \{s\}$ und folglich $f(b) + z = s$. Das scheint der Fehler zu sein, denn für $s$ wurde gezeigt: $s \in S_n(X \setminus \{a\})$:

Wenn $s \in S_n(X \setminus \{a\})$ und $s \in S_{n-1}(X \setminus\{a\})$ gelten würde, dann würde für

$f(c)+s \in S_n(X \setminus \{a\})$ und $f(b)+t \in S_{n-1}(X \setminus \{a\})$ auch $f(c)+s = f(b)+t$ gelten (für $c, b \in X \setminus \{a\}$).

Da $s = f(b) + t$ wegen $f(b) + t \in S_{n-1}(X \setminus \{a\})$ und $s \in S_{n-1}(X \setminus\{a\})$ folgt dann auch $f(c) + s = s$, was im Widerspruch zu $f(c) + s = f(c) + s$ steht und offensichtlich nicht $\forall c \in X \setminus \{a\}$ gilt.