Skip to main content

One post tagged with "mathematics"

View All Tags

· 4 min read

Errata für Beweisen lernen (Springer Verlag 2020) von Junk und Treude. Ich hoffe, dass meine Notizen dem Autorenteam zur Überprüfung und ggf. Korrektur nützlich sind.

Zum Hintergrund dieses Blog-Posts gibt es weiter unten mehr Informationen.

Errata

info

Stand 01.05.2023. Die neusten Notizen wurden zuerst in diese Liste überführt. Ich plane, die Liste sukzessive zu ergänzen.

SeiteFehlerstelleKorrekturvorschlagBemerkung
302 (unten)p(f(b),z)Pf,n1(X{a})p(f(b), z) \in P_{f, n-1}(X \setminus \{a\})p(f(b),z)Pf,n(X{a})p(f(b), z) \in P_{f, n}(X \setminus \{a\})
302 (mittig)[Wegen Aufgabe 153 gilt] xU:Pf,n(X{x})\exists x \in U: P_{f, n}(X \setminus \{x\})xU:Pf,n(X{a})\exists x \in U: P_{f, n}(X \setminus \{a\})Die Menge, auf die Bezug genommen wird, ist hier X{a}X \setminus \{a\}
299 (Lösung Aufgabe 172)zeigt Aufgabe 163zeigt Aufgabe 171
297 (Lösung Aufgabe 168)sei dazu ADαf,n+1A \in D_{\alpha * f, n + 1}sei dazu ADf,n+1A \in D_{f, n + 1}
295 (unten)z+f(b)Sn1(X{a})z + f(b) \in S_{n-1}(X \setminus \{a\})z+f(b)Sn(X{a})z + f(b) \in S_{n}(X \setminus \{a\})
288, 289 (Lösung Aufgabe 147)Es wird auf (3.16) Bezug genommen, aber nN>1:n1N\forall n \in \N_{>1}: n - 1 \in \N ist Axiom (3.18)

Rechtschreibung / Grammatik / Druckfehler

SeiteFehlerstelleKorrekturvorschlag
295 (Lösung Aufgabe 160)die Argumentation wurde ist dir eventuelldie Argumentation wurde ist dir eventuell
294zu zeigen ist P(A)=2AP(A)\mid = 2^{\mid A \mid}zu zeigen ist P(A)=2A\mid P(A)\mid = 2^{\mid A \mid}
290ergibt m=nANm = \mid n \mid - \mid A \mid \in \Nergibt m=nANm = n - \mid A \mid \in \N
284 (Lösung Aufgabe 132)und mit Aufgabe 132 ergibt sich schliesslichund mit Aufgabe 131 ergibt sich schliesslich

Hintergrund: Aufgabe 178 und das kleine Manöver, das kostete

In der Lösung zu Aufgabe 178 aus Beweisen lernen - und der hierzu vorbereitenden Aufgabe 158 - bin ich bei der Nachbereitung des Lösungsvorschlages nicht zu dem gleichen Ergebnis gekommen - der Definitionsbereich einer Funktion wurde falsch angegeben. Den Versuch, die Falschaussage nachzuweisen, habe ich hier in diesem Post dokumentiert.

Weitere Notizen bzgl. eventueller Fehler hinsichtlich Logik- und Druck fasse ich in dem o.a. Errata zusammen.

Aufgabe 158

Notation

UU: Elementuniversum

En\Epsilon_n: Menge aller endlichen Mengen mit der Mächtigkeit nn

P(K)P(K): Potenzmenge von KK mit KUK \subset U

Aufgabenstellung

Es ist per Induktion zu beweisen, das

nN0:k(N0)n:XDk:Sk(X)=1\forall n \in \N_0: \forall k \in (N_0)_{\le n}: \forall X \in D_k: | S_k(X)| = 1

Folgendes steht mit den Voraussetzungen zur Verfügung:

f:XRf: X \mapsto R

Dn:={XEn:XDef(f)}D_n:=\{X \in \Epsilon_n : X \subset Def(f) \}

S0:D0P(R), X{0}S_0: D_0 \to P(\R),\space X \mapsto \{0\}

Sn+1:Dn+1P(R), X{f(x)+s  (x,s)X×Sn(X{x})}S_{n+1}: D_{n+1} \to P(\R),\space X \mapsto \{f(x) + s \space | \space (x, s) \in X \times S_{n}(X \setminus \{x\})\}

Induktionsschritt

Die Autoren wollen die Eindeutigkeit des Elementes xU:xSn+1(X)x \in U: x \in S_{n+1}(X) über

!xU:xSn+1(X)\exists! x \in U: x \in S_{n+1}(X)

zeigen. Hierzu muss die Existenz und die Eindeutigkeit des Elementes gezeigt werden, so dass wegen u,vSn+1(X):u=v\forall u,v \in S_{n+1}(X): u = v auch Sn+1(X)=1|S_{n+1}(X)| = 1 folgt (u.a. wegen Aufgabe 99 und Aufgabe 153).

Argumentation

Hierzu sei

u:=f(a)+s,v:=f(b)+tu:= f(a)+s, v:= f(b)+t

Die Autoren zeigen einige Schritte weiter, dass mit der Induktionsvoraussetzung für ss folgt:

Da f(a)+sSn+1(X)f(a) + s \in S_{n+1}(X), ist sSn(X{a})s \in S_n(X \setminus \{a\}).

Mit bX{a}b \in X \setminus \{a\} soll dann s=f(b)+zs = f(b) + z gezeigt werden, wobei wieder die Induktionsvoraussetzung angewendet wird und zSn1(X{a}{b})z \in S_{n-1}(X \setminus \{a\} \setminus \{b\}) gefunden wird.

Fehlerstelle

In einem weiteren Schritt wird dann behauptet, dass f(b)+zSn1(X{a})f(b) + z \in S_{n-1}(X \setminus\{a\}) ist, und deswegen f(b)+z{s}f(b)+z \in \{s\} und folglich f(b)+z=sf(b) + z = s. Das scheint der Fehler zu sein, denn für ss wurde gezeigt: sSn(X{a})s \in S_n(X \setminus \{a\}):

Wenn sSn(X{a})s \in S_n(X \setminus \{a\}) und sSn1(X{a})s \in S_{n-1}(X \setminus\{a\}) gelten würde, dann würde für

f(c)+sSn(X{a})f(c)+s \in S_n(X \setminus \{a\}) und f(b)+tSn1(X{a})f(b)+t \in S_{n-1}(X \setminus \{a\}) auch f(c)+s=f(b)+tf(c)+s = f(b)+t gelten (für c,bX{a}c, b \in X \setminus \{a\}).

Da s=f(b)+ts = f(b) + t wegen f(b)+tSn1(X{a})f(b) + t \in S_{n-1}(X \setminus \{a\}) und sSn1(X{a})s \in S_{n-1}(X \setminus\{a\}) folgt dann auch f(c)+s=sf(c) + s = s, was im Widerspruch zu f(c)+s=f(c)+sf(c) + s = f(c) + s steht und offensichtlich nicht cX{a}\forall c \in X \setminus \{a\} gilt.