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[DE] "Beweisen lernen" - Errata

· 9 min read

Errata für Beweisen lernen (Springer Verlag 2020) von Junk und Treude. Ich hoffe, dass meine Notizen dem Autorenteam zur Überprüfung und ggf. Korrektur nützlich sind.

Zum Hintergrund dieses Blog-Posts gibt es weiter unten mehr Informationen.

Errata

info

Stand 21.06.2023. Meine gesammelten Notizen habe ich komplett überführt. Das Kapitel "D Tipps zu den Übungen" wurde von mir nicht bearbeitet.

Lieber Google-Nutzer, das offizielle Errata findet sich unter https://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/book/material/errata (abgerufen 21.06.2023).

Vergleichslösungen

SeiteFehlerstelleKorrekturvorschlagBemerkung
326 (ML261)0=distd(x,A)infDx,A0 = dist_d(x, A)inf D_{x,A}0=distd(x,A)=infDx,A0 = dist_d(x, A) = inf D_{x,A}
"a<infDx,A+ϵa < inf D_{x,A} + \epsilonu<infDx,A+ϵu < inf D_{x,A} + \epsilon
321 (ML240)und bMin(b)b \in Min(b) gegebenund bMin(B)b \in Min(B) gegeben
318 (ML230)Zu zeigen ist DR:y,zA:d(x,y)D\exists D \in \R: \forall y,z \in A : d(x,y) \le DZu zeigen ist DR:y,zA:d(y,z)D\exists D \in \R: \forall y,z \in A : d(y, z) \le DIn der ML wird weiter d(x,y)d(x,y) genutzt, obwohl sich der Allquantor auf y,zy,z bezieht. Das wäre im Weiteren zu überprüfen, da wir mit der Def. von Brd(x)B_r^d(x) auch d(x,y)<rd(x, y) < r verstehen.
316 (ML226)Wir definieren g:NNR,g: \N_{\le N} \rarr \R,...Wir definieren g:NnR,g: \N_{\le n} \rarr \R,...
315 (ML224)d2(ru,s)=d_2(r \cdot u, s \cdot) =...d2(ru,su)=d_2(r \cdot u, s \cdot u) =...
312 (ML214)Ly={α3β,3α+2β,0)/11+t(0,2,1)tR}L_y = \{\alpha - 3\beta, 3\alpha + 2\beta, 0)/11 + t \cdot (0,2,1)\vert t \in \R\}Ly={3α+2β,α3β,0)/11+t(0,2,1)tR}L_y = \{3\alpha + 2\beta, \alpha - 3\beta, 0)/11 + t \cdot (0,2,1)\vert t \in \R\}u,vu, v vertauscht
308 (ML194, Ende)Da r[u]~r \in [u]_\text{\textasciitilde} auf uXu \in X und u~xu \text{\textasciitilde} x...Da r[u]~r \in [u]_\text{\textasciitilde} auf uXu \in X und u~ru \text{\textasciitilde} r...
302 (ML178 unten)p(f(b),z)Pf,n1(X{a})p(f(b), z) \in P_{f, n-1}(X \setminus \{a\})p(f(b),z)Pf,n(X{a})p(f(b), z) \in P_{f, n}(X \setminus \{a\})
302 (ML178 mittig)[Wegen Aufgabe 153 gilt] xU:Pf,n(X{x})\exists x \in U: P_{f, n}(X \setminus \{x\})xU:Pf,n(X{a})\exists x \in U: P_{f, n}(X \setminus \{a\})Die Menge, auf die Bezug genommen wird, ist hier X{a}X \setminus \{a\}
299 (ML172)zeigt Aufgabe 163zeigt Aufgabe 171
297 (ML168)sei dazu ADαf,n+1A \in D_{\alpha \cdot f, n + 1}sei dazu ADf,n+1A \in D_{f, n + 1}
295 (unten)z+f(b)Sn1(X{a})z + f(b) \in S_{n-1}(X \setminus \{a\})z+f(b)Sn(X{a})z + f(b) \in S_{n}(X \setminus \{a\})
288, 289 (ML147)Es wird auf (3.16) Bezug genommen, aber nN>1:n1N\forall n \in \N_{>1}: n - 1 \in \N ist Axiom (3.18)
277 (ML106)für "    \impliedby" müsste noch yUy \in U gezeigt werden
272 (ML89)Es wird auf eine Symmetrie von \le Bezug genommen, aber in dem Kontext ist \le Antisymmetrisch (Satz 3.11 und Ü89)
269 (ML78)was auf den Widerspruch 010 \ge 1 führtwas auf den Widerspruch 121 \ge 2 führtxNx \in \N, also x0x \ne 0. Im indirekten Beweis wird xx+1x \ge x + 1 mit x=0x=0 verwendet
258 (ML44)mit AA anstelle von AA und BB anstelle von BBmit AA anstelle von EE und BB anstelle von FF

Ideen: Metrische Räume

SeiteFehlerstelleKorrekturvorschlagBemerkung
166 (Ü274)Br(A)B_r(A)Brd(A)B_r^d(A)
167Br(u)B_r(u)Brd(u)B_r^d(u)Mehrfachnennung auf dieser Seite, ohne auf die Metrik Bezug zu nehmen
156 (Ü248)s<supMs < sup MuM:u<supMu \in M: u < sup Mss ist vorgegeben mit sOMs \in O_M, damit gilt ja bereits ssupMs \ge sup M und damit auch sms \ge m
154 (Ü240)Min(b)Min(b)Min(B)Min(B)
147 (Ü226)D:Xn×XnD: X^n \times X^n, ...D:Xn×XnRD: X^n \times X^n \rarr \R, ...

Ideen: Äquivalenzklassen

SeiteFehlerstelleKorrekturvorschlagBemerkung
132 (unten)R([au]~)=R([au]~)R([a \cdot u]_\text{\textasciitilde}) = R([a \cdot u]_\text{\textasciitilde})R(a[u]~)=R([au]~)R(a \boxdot [u]_\text{\textasciitilde}) = R([a \cdot u]_\text{\textasciitilde})

Training

SeiteFehlerstelleKorrekturvorschlagBemerkung
94{tU3:((t1A)(t2B))(t3C)}\{t \in U^3: ((t_1 \in A) \land (t_2 \in B)) \land (t_3 \in C)\}{tU3:(t1A)(t2B)(t3C)}\{t \in U^3: (t_1 \in A) \land (t_2 \in B) \land (t_3 \in C)\}
83 (oben)führt zur Langform U={yZ:xZ:y=g(z)}U = \{y \in \Z: \exists x \in \Z : y = g(z)\}führt zur Langform U={yZ:xZ:y=g(x)}U = \{y \in \Z: \exists x \in \Z : y = g(x)\}in (3.10) wird für die Gleichung ebenfalls die falsche Variable genutzt
82 (Ü102)Zeige aR:g[R0]=Ra\exists a \in \R : g [R_{\ge 0}] = \R_{\ge a}.Zeige aR:g[R0]=Ra\exists a \in \R : g [\R_{\ge 0}] = \R_{\ge a}.

Rechtschreibung / Grammatik / Druckfehler

SeiteFehlerstelleKorrekturvorschlag
325 (ML259)Insebsondere ist distd(x,A)=0dist_d(x,A) = 0Insebsondere Insbesondere ist distd(x,A)=0dist_d(x,A) = 0
295 (ML160)die Argumentation wurde ist dir eventuelldie Argumentation wurde ist dir eventuell
294zu zeigen ist P(A)=2AP(A)\mid = 2^{\mid A \mid}zu zeigen ist P(A)=2A\mid P(A)\mid = 2^{\mid A \mid}
290ergibt m=nANm = \mid n \mid - \mid A \mid \in \Nergibt m=nANm = n - \mid A \mid \in \N
284 (ML132)und mit Aufgabe 132 ergibt sich schliesslichund mit Aufgabe 131 ergibt sich schliesslich
166 (unten)dass sie sich garnicht scheidendass sie sich garnicht scheiden schneiden
149In einer Kugel mit em RadiusIn einer Kugel mit em dem Radius
125 (unten)und mit Aufgabe 179 dannund mit Aufgabe 179 180 dann
120 (oben)Mit Teil (b) von Aufgabe 179 folgt hierausMit Teil (b) von Aufgabe 179 180 folgt hieraus
117Ausgangspizza in a2b2a_2 \cdot b_2 Teile auftrittAusgangspizza in a1b2a_1 \cdot b_2 Teile auftritt
104 (unten)in Für-Alle-Aussage über N0\N_0 zu verwandelnin Für-Alle-AussageAussagen über N0\N_0 zu verwandeln
102 (oben)auf \emptyset gibt es nur ein einzige Funktionauf \emptyset gibt es nur ein eine einzige Funktion
37 (unten)Dies folgt durch Anwendung von Satz 2.11 bei Ersetzung von AA durch EEDies folgt durch Anwendung von Satz 2.11 2.9 bei Ersetzung von AA durch EE
37 (unten, folgt der vorher erwähnten Fehlerstelle)Dies folgt durch Anwendung von Satz 2.9 bei ErsetzungDies folgt durch Anwendung von Satz 2.9 2.11 bei Ersetzung

Anmerkungen

SeiteBemerkung
148 Definition 5.9vielleicht bietet es sich hier bereits an, in der Definition den Begriff "offene Kugel" zu verwenden
118 Definition 4.1Sei ~\text{\textasciitilde} eine Äquivalenzrelation auf einer nicht leeren Menge XX
91 Definition 3.24Informatiker würden sich hier über die Erwähnung "partielle Funktion" freuen
*ML = Musterlösung*Ü = Übung

Hintergrund: Aufgabe 178 und das kleine Manöver, das kostete

In der Lösung zu Aufgabe 178 aus Beweisen lernen - und der hierzu vorbereitenden Aufgabe 158 - bin ich bei der Nachbereitung des Lösungsvorschlages nicht zu dem gleichen Ergebnis gekommen - der Definitionsbereich einer Funktion wurde falsch angegeben. Den Versuch, die Falschaussage nachzuweisen, habe ich hier in diesem Post dokumentiert.

Weitere Notizen bzgl. eventueller Fehler hinsichtlich Logik- und Druck fasse ich in dem o.a. Errata zusammen.

Aufgabe 158

Notation

UU: Elementuniversum

En\Epsilon_n: Menge aller endlichen Mengen mit der Mächtigkeit nn

P(K)P(K): Potenzmenge von KK mit KUK \subset U

Aufgabenstellung

Es ist per Induktion zu beweisen, das

nN0:k(N0)n:XDk:Sk(X)=1\forall n \in \N_0: \forall k \in (N_0)_{\le n}: \forall X \in D_k: | S_k(X)| = 1

Folgendes steht mit den Voraussetzungen zur Verfügung:

f:XRf: X \mapsto R

Dn:={XEn:XDef(f)}D_n:=\{X \in \Epsilon_n : X \subset Def(f) \}

S0:D0P(R), X{0}S_0: D_0 \to P(\R),\space X \mapsto \{0\}

Sn+1:Dn+1P(R), X{f(x)+s  (x,s)X×Sn(X{x})}S_{n+1}: D_{n+1} \to P(\R),\space X \mapsto \{f(x) + s \space | \space (x, s) \in X \times S_{n}(X \setminus \{x\})\}

Induktionsschritt

Die Autoren wollen die Eindeutigkeit des Elementes xU:xSn+1(X)x \in U: x \in S_{n+1}(X) über

!xU:xSn+1(X)\exists! x \in U: x \in S_{n+1}(X)

zeigen. Hierzu muss die Existenz und die Eindeutigkeit des Elementes gezeigt werden, so dass wegen u,vSn+1(X):u=v\forall u,v \in S_{n+1}(X): u = v auch Sn+1(X)=1|S_{n+1}(X)| = 1 folgt (u.a. wegen Aufgabe 99 und Aufgabe 153).

Argumentation

Hierzu sei

u:=f(a)+s,v:=f(b)+tu:= f(a)+s, v:= f(b)+t

Die Autoren zeigen einige Schritte weiter, dass mit der Induktionsvoraussetzung für ss folgt:

Da f(a)+sSn+1(X)f(a) + s \in S_{n+1}(X), ist sSn(X{a})s \in S_n(X \setminus \{a\}).

Mit bX{a}b \in X \setminus \{a\} soll dann s=f(b)+zs = f(b) + z gezeigt werden, wobei wieder die Induktionsvoraussetzung angewendet wird und zSn1(X{a}{b})z \in S_{n-1}(X \setminus \{a\} \setminus \{b\}) gefunden wird.

Fehlerstelle

In einem weiteren Schritt wird dann behauptet, dass f(b)+zSn1(X{a})f(b) + z \in S_{n-1}(X \setminus\{a\}) ist, und deswegen f(b)+z{s}f(b)+z \in \{s\} und folglich f(b)+z=sf(b) + z = s. Das scheint der Fehler zu sein, denn für ss wurde gezeigt: sSn(X{a})s \in S_n(X \setminus \{a\}):

Wenn sSn(X{a})s \in S_n(X \setminus \{a\}) und sSn1(X{a})s \in S_{n-1}(X \setminus\{a\}) gelten würde, dann würde für

f(c)+sSn(X{a})f(c)+s \in S_n(X \setminus \{a\}) und f(b)+tSn1(X{a})f(b)+t \in S_{n-1}(X \setminus \{a\}) auch f(c)+s=f(b)+tf(c)+s = f(b)+t gelten (für c,bX{a}c, b \in X \setminus \{a\}).

Da s=f(b)+ts = f(b) + t wegen f(b)+tSn1(X{a})f(b) + t \in S_{n-1}(X \setminus \{a\}) und sSn1(X{a})s \in S_{n-1}(X \setminus\{a\}) folgt dann auch f(c)+s=sf(c) + s = s, was im Widerspruch zu f(c)+s=f(c)+sf(c) + s = f(c) + s steht und offensichtlich nicht cX{a}\forall c \in X \setminus \{a\} gilt.