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Errata für Beweisen lernen (Springer Verlag 2020) von Junk und Treude. Ich hoffe, dass meine Notizen dem Autorenteam zur Überprüfung und ggf. Korrektur nützlich sind.

Zum Hintergrund dieses Blog-Posts gibt es weiter unten mehr Informationen.

Errata​

Vergleichslösungen​

Seite	Fehlerstelle	Korrekturvorschlag	Bemerkung
326 (ML261)	$0 = dist_d(x, A)inf D_{x,A}$	$0 = dist_d(x, A) = inf D_{x,A}$
"	$a < inf D_{x,A} + \epsilon$	$u < inf D_{x,A} + \epsilon$
321 (ML240)	und $b \in Min(b)$ gegeben	und $b \in Min(B)$ gegeben
318 (ML230)	Zu zeigen ist $\exists D \in \R: \forall y,z \in A : d(x,y) \le D$	Zu zeigen ist $\exists D \in \R: \forall y,z \in A : d(y, z) \le D$	In der ML wird weiter $d(x,y)$ genutzt, obwohl sich der Allquantor auf $y,z$ bezieht. Das wäre im Weiteren zu überprüfen, da wir mit der Def. von $B_r^d(x)$ auch $d(x, y) < r$ verstehen.
316 (ML226)	Wir definieren $g: \N_{\le N} \rarr \R,$...	Wir definieren $g: \N_{\le n} \rarr \R,$...
315 (ML224)	$d_2(r \cdot u, s \cdot) =$...	$d_2(r \cdot u, s \cdot u) =$...
312 (ML214)	$L_y = \{\alpha - 3\beta, 3\alpha + 2\beta, 0)/11 + t \cdot (0,2,1)\vert t \in \R\}$	$L_y = \{3\alpha + 2\beta, \alpha - 3\beta, 0)/11 + t \cdot (0,2,1)\vert t \in \R\}$	$u, v$ vertauscht
308 (ML194, Ende)	Da $r \in [u]_\text{\textasciitilde}$ auf $u \in X$ und $u \text{\textasciitilde} x$...	Da $r \in [u]_\text{\textasciitilde}$ auf $u \in X$ und $u \text{\textasciitilde} r$...
302 (ML178 unten)	$p(f(b), z) \in P_{f, n-1}(X \setminus \{a\})$	$p(f(b), z) \in P_{f, n}(X \setminus \{a\})$
302 (ML178 mittig)	[Wegen Aufgabe 153 gilt] $\exists x \in U: P_{f, n}(X \setminus \{x\})$	$\exists x \in U: P_{f, n}(X \setminus \{a\})$	Die Menge, auf die Bezug genommen wird, ist hier $X \setminus \{a\}$
299 (ML172)	zeigt Aufgabe 163	zeigt Aufgabe 171
297 (ML168)	sei dazu $A \in D_{\alpha \cdot f, n + 1}$	sei dazu $A \in D_{f, n + 1}$
295 (unten)	$z + f(b) \in S_{n-1}(X \setminus \{a\})$	$z + f(b) \in S_{n}(X \setminus \{a\})$
288, 289 (ML147)			Es wird auf (3.16) Bezug genommen, aber $\forall n \in \N_{>1}: n - 1 \in \N$ ist Axiom (3.18)
277 (ML106)			für "$\impliedby$" müsste noch $y \in U$ gezeigt werden
272 (ML89)			Es wird auf eine Symmetrie von $\le$ Bezug genommen, aber in dem Kontext ist $\le$ Antisymmetrisch (Satz 3.11 und Ü89)
269 (ML78)	was auf den Widerspruch $0 \ge 1$ führt	was auf den Widerspruch $1 \ge 2$ führt	$x \in \N$, also $x \ne 0$. Im indirekten Beweis wird $x \ge x + 1$ mit $x=0$ verwendet
258 (ML44)	mit $A$ anstelle von $A$ und $B$ anstelle von $B$	mit $A$ anstelle von $E$ und $B$ anstelle von $F$

Ideen: Metrische Räume​

Seite	Fehlerstelle	Korrekturvorschlag	Bemerkung
166 (Ü274)	$B_r(A)$	$B_r^d(A)$
167	$B_r(u)$	$B_r^d(u)$	Mehrfachnennung auf dieser Seite, ohne auf die Metrik Bezug zu nehmen
156 (Ü248)	$s < sup M$	$u \in M: u < sup M$	$s$ ist vorgegeben mit $s \in O_M$, damit gilt ja bereits $s \ge sup M$ und damit auch $s \ge m$
154 (Ü240)	$Min(b)$	$Min(B)$
147 (Ü226)	$D: X^n \times X^n$, ...	$D: X^n \times X^n \rarr \R$, ...

Ideen: Äquivalenzklassen​

Seite	Fehlerstelle	Korrekturvorschlag	Bemerkung
132 (unten)	$R([a \cdot u]_\text{\textasciitilde}) = R([a \cdot u]_\text{\textasciitilde})$	$R(a \boxdot [u]_\text{\textasciitilde}) = R([a \cdot u]_\text{\textasciitilde})$

Training​

Seite	Fehlerstelle	Korrekturvorschlag	Bemerkung
94	$\{t \in U^3: ((t_1 \in A) \land (t_2 \in B)) \land (t_3 \in C)\}$	$\{t \in U^3: (t_1 \in A) \land (t_2 \in B) \land (t_3 \in C)\}$
83 (oben)	führt zur Langform $U = \{y \in \Z: \exists x \in \Z : y = g(z)\}$	führt zur Langform $U = \{y \in \Z: \exists x \in \Z : y = g(x)\}$	in (3.10) wird für die Gleichung ebenfalls die falsche Variable genutzt
82 (Ü102)	Zeige $\exists a \in \R : g [R_{\ge 0}] = \R_{\ge a}$.	Zeige $\exists a \in \R : g [\R_{\ge 0}] = \R_{\ge a}$.

Rechtschreibung / Grammatik / Druckfehler​

Seite	Fehlerstelle	Korrekturvorschlag
325 (ML259)	Insebsondere ist $dist_d(x,A) = 0$	Insebsondere Insbesondere ist $dist_d(x,A) = 0$
295 (ML160)	die Argumentation wurde ist dir eventuell	die Argumentation wurde ist dir eventuell
294	zu zeigen ist $P(A)\mid = 2^{\mid A \mid}$	zu zeigen ist $\mid P(A)\mid = 2^{\mid A \mid}$
290	ergibt $m = \mid n \mid - \mid A \mid \in \N$	ergibt $m = n - \mid A \mid \in \N$
284 (ML132)	und mit Aufgabe 132 ergibt sich schliesslich	und mit Aufgabe 131 ergibt sich schliesslich
166 (unten)	dass sie sich garnicht scheiden	dass sie sich garnicht scheiden schneiden
149	In einer Kugel mit em Radius	In einer Kugel mit em dem Radius
125 (unten)	und mit Aufgabe 179 dann	und mit Aufgabe 179 180 dann
120 (oben)	Mit Teil (b) von Aufgabe 179 folgt hieraus	Mit Teil (b) von Aufgabe 179 180 folgt hieraus
117	Ausgangspizza in $a_2 \cdot b_2$ Teile auftritt	Ausgangspizza in $a_1 \cdot b_2$ Teile auftritt
104 (unten)	in Für-Alle-Aussage über $\N_0$ zu verwandeln	in Für-Alle-AussageAussagen über $\N_0$ zu verwandeln
102 (oben)	auf $\emptyset$ gibt es nur ein einzige Funktion	auf $\emptyset$ gibt es nur ein eine einzige Funktion
37 (unten)	Dies folgt durch Anwendung von Satz 2.11 bei Ersetzung von $A$ durch $E$	Dies folgt durch Anwendung von Satz 2.11 2.9 bei Ersetzung von $A$ durch $E$
37 (unten, folgt der vorher erwähnten Fehlerstelle)	Dies folgt durch Anwendung von Satz 2.9 bei Ersetzung	Dies folgt durch Anwendung von Satz 2.9 2.11 bei Ersetzung

Anmerkungen​

Seite	Bemerkung
148 Definition 5.9	vielleicht bietet es sich hier bereits an, in der Definition den Begriff "offene Kugel" zu verwenden
118 Definition 4.1	Sei $\text{\textasciitilde}$ eine Äquivalenzrelation auf einer nicht leeren Menge $X$
91 Definition 3.24	Informatiker würden sich hier über die Erwähnung "partielle Funktion" freuen

^*ML = Musterlösung^*Ü = Übung

Hintergrund: Aufgabe 178 und das kleine Manöver, das kostete​

In der Lösung zu Aufgabe 178 aus Beweisen lernen - und der hierzu vorbereitenden Aufgabe 158 - bin ich bei der Nachbereitung des Lösungsvorschlages nicht zu dem gleichen Ergebnis gekommen - der Definitionsbereich einer Funktion wurde falsch angegeben. Den Versuch, die Falschaussage nachzuweisen, habe ich hier in diesem Post dokumentiert.

Weitere Notizen bzgl. eventueller Fehler hinsichtlich Logik- und Druck fasse ich in dem o.a. Errata zusammen.

Aufgabe 158​

Notation​

$U$: Elementuniversum

$\Epsilon_n$: Menge aller endlichen Mengen mit der Mächtigkeit $n$

$P(K)$: Potenzmenge von $K$ mit $K \subset U$

Aufgabenstellung​

Es ist per Induktion zu beweisen, das

$\forall n \in \N_0: \forall k \in (N_0)_{\le n}: \forall X \in D_k: | S_k(X)| = 1$

Folgendes steht mit den Voraussetzungen zur Verfügung:

$f: X \mapsto R$

$D_n:=\{X \in \Epsilon_n : X \subset Def(f) \}$

$S_0: D_0 \to P(\R),\space X \mapsto \{0\}$

$S_{n+1}: D_{n+1} \to P(\R),\space X \mapsto \{f(x) + s \space | \space (x, s) \in X \times S_{n}(X \setminus \{x\})\}$

Induktionsschritt​

Die Autoren wollen die Eindeutigkeit des Elementes $x \in U: x \in S_{n+1}(X)$ über

$\exists! x \in U: x \in S_{n+1}(X)$

zeigen. Hierzu muss die Existenz und die Eindeutigkeit des Elementes gezeigt werden, so dass wegen $\forall u,v \in S_{n+1}(X): u = v$ auch $|S_{n+1}(X)| = 1$ folgt (u.a. wegen Aufgabe 99 und Aufgabe 153).

Argumentation​

Hierzu sei

$u:= f(a)+s, v:= f(b)+t$

Die Autoren zeigen einige Schritte weiter, dass mit der Induktionsvoraussetzung für $s$ folgt:

Da $f(a) + s \in S_{n+1}(X)$, ist $s \in S_n(X \setminus \{a\})$.

Mit $b \in X \setminus \{a\}$ soll dann $s = f(b) + z$ gezeigt werden, wobei wieder die Induktionsvoraussetzung angewendet wird und $z \in S_{n-1}(X \setminus \{a\} \setminus \{b\})$ gefunden wird.

Fehlerstelle​

In einem weiteren Schritt wird dann behauptet, dass $f(b) + z \in S_{n-1}(X \setminus\{a\})$ ist, und deswegen $f(b)+z \in \{s\}$ und folglich $f(b) + z = s$. Das scheint der Fehler zu sein, denn für $s$ wurde gezeigt: $s \in S_n(X \setminus \{a\})$:

Wenn $s \in S_n(X \setminus \{a\})$ und $s \in S_{n-1}(X \setminus\{a\})$ gelten würde, dann würde für

$f(c)+s \in S_n(X \setminus \{a\})$ und $f(b)+t \in S_{n-1}(X \setminus \{a\})$ auch $f(c)+s = f(b)+t$ gelten (für $c, b \in X \setminus \{a\}$).

Da $s = f(b) + t$ wegen $f(b) + t \in S_{n-1}(X \setminus \{a\})$ und $s \in S_{n-1}(X \setminus\{a\})$ folgt dann auch $f(c) + s = s$, was im Widerspruch zu $f(c) + s = f(c) + s$ steht und offensichtlich nicht $\forall c \in X \setminus \{a\}$ gilt.